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幂函数的概念与性质，高中必看知识点归纳总结大全

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1、幂函数的概念
一般地 ， 函数叫做幂函数 ， 其中是自变量 ， 是常数；其定义域是使有意义的值的集合 。
例1、已知幂函数 ， 且当时为减函数 。求幂函数的解析式 。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质 。求幂函数的解析式 ， 一般用待定系数法 ， 弄明白幂函数的定义是解题的关键 。
解答：由于为幂函数 ， 
所以 ， 解得 ， 或 。
当时 ，  ， 在上为减函数；
当时 ，  ， 在上为常函数 ， 不合题意 ， 舍去 。
故所求幂函数的解析式为 。
2、幂函数的图象和性质
图象：
性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义 ， 并且图象都过点；
（2）如果 ， 则幂函数的图象过点和 ， 并且在区间上是增函数；
（3）如果 ， 则幂函数的图象过点 ， 并在区间上是减函数 。在第一象限内 ， 当从趋向于原点时 ， 图象在轴右方无限地逼近轴 ， 当趋于时 ， 图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时 ， 幂函数为奇函数；当为偶数时 ， 幂函数为偶函数 。
例2、比较 ，  ， 的大小 。
分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小 ， 再根据幂函数的图象比较与的大小 。
解答：
而在上单调递增 ， 且
 ， 
。故 。
例3、若函数在区间上是递减函数 ， 求实数m的取值范围 。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题 。
函数是一个比较常用的幂函数 ， 它也叫做反比例函数 ， 其定义域是 ， 是一个奇函数 ， 对称中心为（0 ， 0） ， 在和上都是递减函数 。一般地 ， 形如的函数都可以通过对的图象进行变换而得到 ， 所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到 。
解答：由于
 ， 所以函数的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位 ， 再向上平移3个单位得到的 ， 所以其图象如图所示 。
其单调递减区间是和 ， 而函数在区间上是递减函数 ， 所以应有 。
例4、若点在幂函数的图象上 ， 点在幂函数的图象上 ， 定义 ， 试求函数的最大值及其单调区间 。
分析：首先根据幂函数的定义求出 ， 然后在同一坐标系下画出函数和的图象 ， 得出的函数图象 ， 最后根据图象求出最大值和单调区间 。
解答：设 ， 因为点在的图象上 ， 所以 ， 所以 ， 即；
又设 ， 点在的图象上 ， 所以 ， 所以 ， 即 。
在同一坐标系下画出函数和的图象 ， 如图所示 ， 则有
。
根据图象可知函数的最大值等于 ， 其单调递增区间是（ ， －1）和（0 ， 1）；单调递减区间是和 。
例5、已知幂函数是偶函数 ， 且在上是减函数 ， 求函数的解析式 ， 并讨论的奇偶性 。
分析：先根据单调性求出m的取值范围 ， 再由奇偶性进一步确定m的取值 。讨论的奇偶性时要注意对字母的讨论 。
解答：由在上是减函数得 ，  。∵ ， 0 ， 1 。
又因为是偶函数 ， ∴只有当时符合题意 ， 故 。

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