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幂函数的概念与性质，高中必看知识点归纳总结大全( 二 )

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于是
 ， 
。
当且时 ， 为非奇非偶函数；
当且时 ， 为奇函数；
当且时 ， 为偶函数；
当且时 ， 为既奇又偶函数 。
例6、已知幂函数在上是增函数 ， 且在定义域上是偶函数 。
（1）求的值 ， 并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数 ， 设函数 。问是否存在实数 ， 使得函数在区间上是减函数 ， 且在区间上是增函数？若存在 ， 请求出的值；若不存在 ， 请说明理由 。
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围 ， 再由奇偶性进一步确定的取值 。第二问可根据复合函数单调性的规律来解 。
解答：（1）∵幂函数在上是增函数 ， ∴∴
又 ， ∴
∵在定义域上是偶函数 ， ∴只有当时符合题意 ， 故 。
（2）由 ， 则 。
假设存在实数 ， 使得满足题设条件 。令 ， 则 。
∵在上是减函数 ， ∴当时 ， ；当时 ，  。
若在区间上是减函数 ， 且在区间上是增函数 ， 则在上是减函数 ， 且在上是增函数 ， 此时二次函数的对称轴方程是即 ， 
∴
。
故存在实数 ， 使得函数在区间上是减函数 ， 且在区间上是增函数 。
幂函数定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数 ， 即以底数为自变量幂为因变量 ， 指数为常量的函数称为幂函数 。
定义域和值域：
当a为不同的数值时 ， 幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数 ， 则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数 ， 则x肯定不能为0 ， 不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定 ， 即如果同时q为偶数 ， 则x不能小于0 ， 这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数 ， 则函数的定义域为不等于0的所有实数 。当x为不同的数值时 ， 幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时 ， 函数的值域总是大于0的实数 。在x小于0时 ， 则只有同时q为奇数 ， 函数的值域为非零的实数 。而只有a为正数 ， 0才进入函数的值域 。
性质：
对于a的取值为非零有理数 ， 有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
【幂函数的概念与性质，高中必看知识点归纳总结大全】首先我们知道如果a=p/q ， q和p都是整数 ， 则x^(p/q)=q次根号(x的p次方) ， 如果q是奇数 ， 函数的定义域是R ， 如果q是偶数 ， 函数的定义域是[0 ， +∞) 。
当指数n是负整数时 ， 设a=-k ， 则x=1/(x^k) ， 显然x≠0 ， 函数的定义域是(-∞ ， 0)∪(0 ， +∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点 ， 一是有可能作为分母而不能是0 ， 一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数 ， 那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能 ， 即对于x>0 ， 则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能 ， 即对于x<0和x>0的所有实数 ， q不能是偶数;
排除了为负数这种可能 ， 即对于x为大于且等于0的所有实数 ， a就不能是负数 。
总结起来 ， 就可以得到当a为不同的数值时 ， 幂函数的定义域的不同情况如下：

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