《九章算术》内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就 。它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系 。
《九章算术》的内容十分丰富,全书采用问题集的形式[4],收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术 。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股 。共九章如下所示 。原作有插图,今传本已只剩下正文了 。
《九章算术》共收有246个数学问题,分为九章 。它们的主要内容分别是:
第一章“方田”: 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法 。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法 。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则,以及求分子分母最大公约数等方法 。
第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;衰分章提出比例分配法则,称为衰分术;
第三章“衰分”:比例分配问题 。
第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一边长和径长等;介绍了开平方、开立方的方法 。
第五章“商功”:土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;
第六章“均输”:合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题 。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论 。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法 。
第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法 。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大 。
勾股定理求解
第八章“方程”:一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致 。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法 。在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则 。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法 。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系 。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数 。
第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题 。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的 。提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n 。在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了 。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事 。例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出 。
《九章算术》确定了中国古代数学的框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格 。其影响之深,以致以后中国数学着作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例着书;甚至西算传入中国之后,人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架 。然而,《九章算术》亦有其不容忽视的缺点:没有任何数学概念的定义,也没有给出任何推导和证明 。魏景元四年(263年),刘徽给《九章算术》作注,才大大弥补了这个缺陷 。
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