矩阵的秩到底是什么，矩阵的秩是什么意思

矩阵的秩到底是什么
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rankA 。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。
类似地，行秩是A的线性无关的横行的'极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵的秩是什么意思AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

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特别规定零矩阵的秩为零。
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A) 。
显然rA≤min(m，n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

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矩阵的秩不等式
(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。
证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。又因为矩阵的标准型是唯一的，所以矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。
(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。
证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0同解。因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过来也成立。两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。
什么叫矩阵的秩,举个例子矩阵的秩

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矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA 。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，
如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
拓展资料;
变化规律
【矩阵的秩到底是什么，矩阵的秩是什么意思】(1) 转置后秩不变
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A),k不等于0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
矩阵的秩是什么首先应该是齐次的线性方程组。
方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。
我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。
未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。
类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。
重要定理
每一个线性空间都有一个基。
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
以上内容参考：
矩阵的秩它的本质究竟是什么东西上面可以推出来的。R(A)=n，即A可逆，$A^{*}A=E$，秩为n 。R(A)=n-1时，则至少有一个n-1代数余子式不为0，即秩≥1 。又由线性方程组理论矩阵A和其伴随矩阵秩的和≤n，可得秩为1 。R(A)＜n-1时，n-1代数余子式全为0，即伴随矩阵为零矩阵，秩为0 。

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