矩阵的秩到底是什么，矩阵的秩是什么意思( 二 )

矩阵的秩是什么意思矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A 。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的秩在什么情况下为0矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。
参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA 。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。
矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。
扩展资料
秩线性映射的推广：
只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。
如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2）。
秩（Am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f和 g，则秩（AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。
矩阵的秩的数学意义矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它表示矩阵中所有的行（或列）向量中线性无关的向量个数。

具体而言，矩阵的秩是矩阵列向量组（或行向量组）的极大线性无关组中向量的个数。如果一个矩阵的秩为r，则其含有r个线性无关的行向量（或列向量），并能够生成一个r维的线性空间。

在数学中，矩阵的秩有着广泛的应用，下面列举其中的几个例子：

1. 矩阵求逆：一个n阶方阵可逆的充分必要条件是其秩为n 。

2. 矩阵的行列式：一个n阶方阵的行列式为0的充分必要条件是其秩小于n 。

3. 线性方程组解的个数：一个线性方程组的解的个数与其增广矩阵的秩有关，具体而言，当增广矩阵的秩等于未知量的个数时，线性方程组有唯一解；当增广矩阵的秩小于未知量的个数时，线性方程组有无穷多解；当增广矩阵的秩小于未知量的个数时，线性方程组无解。

因此，矩阵的秩可以帮助我们判断矩阵本身的性质，并在求解一些数学问题时提供线索。
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