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∫1/sinxdx等于多少 sinx分之一积分

生活百科生活经验

1、换元积分法
第一类：基本微分公式推导的凑微分公式
定理1：设f（u）具有原函数，u=ψ（x）可导，则有换元公式：
∫f[ψ（x）]ψ’（x）dx=[∫f(u)du]u=ψ（x） 。
步骤：
（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分；
（2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分；
（4）变量还原 。
常用的凑微分公式：
（1）(1/√x)dx=2d(√x)；
（2）（1/x2）dx=-d(1/x)；
（3）(1/x)dx=d（ln|x|）；
（4）exdx=dex；
（5）cosxdx=dsinx；
（6）sinxdx=-dcosx；
（7）（1/cos2x）dx=sec2xdx=dtanx；
（8）（1/sin2x）dx=-csc2xdx=-dcotx；
（9）[1/√（1-x2）]dx=d(arcsinx)=-d(arccocx)；
（10）[1/(1 x2)]dx=d(arctanx)=-d(arccotx) 。
第二类：
定理2：设x=ψ（t）是单调、可导函数，并且ψ’（t）≠0，又设f[ψ（t）]ψ’（t）具有原函数，则有换元公式：∫f（x）dx=∫[f[ψ（t）]ψ’（t）dt]ψ-1（t），其中，ψ-1（t）是x=ψ（t）的反函数 。
三角函数代换法：
三角替换法

√（a2-x2）=acost，令x=asint，t∈（-Л/2，Л/2）；
√（a2 x2）=asect，令x=atant，t∈（-Л/2，Л/2）；

√（x2-a2）=atant，令x=asect，t∈（0，Л/2） 。
简单无理数代换法：
∫R（x，n√（ax b））dx，令t=n√（ax b）；
∫R（x，n√（ax b），m√（ax b））dx，令t=p√（ax b）（p是m，n的最小公倍数）；
∫R（x，n√[（ax b）/（cx d）]）dx，令t=n√[（ax b）/（cx d）] 。
倒代换法：在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令x=1/t，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x 。
指数代换法：令ex=t 。
常用积分公式补充：
①∫tanxdx=-ln|cosx| C；②∫cotxdx=ln|sinx| C；③∫cscxdx=ln|cscx-cotx| C；
④∫secxdx=ln|secx tanx| C；⑤∫1/（a2 x2）dx=（1/a）arctan（x/a） C；
⑥∫1/（x2-a2）dx=（1/2a）ln[（x-a）/（x a）] C；
⑦∫1/√（a2-x2）dx=arcsin（x/a） C（a＞0）；
⑧∫1/√（a2 x2）dx=ln|x √（a2 x2）| C；⑨∫1/√（x2-a2）dx=ln|x √（x2-a2）| C 。
2、分部积分法（利用两个函数乘积的求导法则推导得出）
定理1：设函数u=u（x），v（x），具有连续的导数，则∫udv=uv-∫vdu 。
补充：v更容易求得；∫vdu比∫udv更易求出；

当被积函数是幂函数与正余弦或者指数函数的乘积时，幂函数在d的前面，正余弦或指数函数在d的后面；
当被积函数时幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d的前面，幂函数在d的后面；
当被积函数时指数函数与正余弦函数的乘积是，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后会还原到原来的积分形式，只是系数发生变化，称它为循环法；
在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法 。
3、有理函数的积分和三角函数有理式的积分
有理函数的积分：

有理函数的形式：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：
P（x）/Q（x）=（a0xn a1xn-1 a2xn-2 ... an-1x an）/（b0xm b1xm-1 b2xm-2 ... bm-1x am）其中，m和n都是非负整数，a0，a1，a2，...，an及b0，b1，b2，...，bm都是实数，并且a0≠0，b0≠0 。当n＜m时，称这有理函数是真分式；当n≥m时，称这有理函数是假分式 。假分式总可以化成一个多项式与一个真分式的和的形式 。
求真分式的不定积分：如果分母可以因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分 。

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