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高中数学：幂函数图像及性质总结

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1、幂函数的概念
一般称一个函数为幂函数，其中自变量为常数；它的领域是有意义的值的集合 。
1.幂函数是已知的，当时是减函数 。求幂函数的解析公式 。
解析:正确理解幂函数的概念、形象和性质 。求幂函数的解析式，一般采用待定系数法 。理解幂函数的定义是解决问题的关键 。
答:因为是幂函数，
所以解决办法还是 。
当时，它是一个递减函数 。
当时，，是世界常数函数，不符合题意，放弃吧 。
因此，幂函数的解析式为 。
2.幂函数的图像和性质
图片:
自然:
(1)屏幕上定义了所有的幂函数，图像被超点；
(2)如果是，则幂函数的图像穿过点和并且是区间中的增函数；
(3)如果是，则幂函数的像过了点，是区间内的减函数 。在第一象限中，当从原点移动时，图像无限接近轴右侧的轴，当向原点移动时，图像无限接近轴上方的轴 。
(4)当它是奇数时，幂函数是奇数函数；当它是偶数时，幂函数是偶数 。
2.比较…的大小 。
解析:先用幂函数的增减来比较和的大小，再根据幂函数的形象来比较和的大小 。
回答:
但是单调增加
,
。因此 。
3.如果函数在区间内是减函数，求实数m的取值范围 。
解析:本题考查简单幂函数的性质和函数图像的翻译 。
函数是常用的幂函数，也叫反比例函数 。它的定义域是奇函数，对称中心是(0，0)，两者都是减函数 。一般来说，具有形状的函数可以通过变换图像来获得，所以这些函数的性质可以利用 。
回答:因为
，所以形象的函数是由一个幂函数组成的
图像是先向右移动2个单位，然后向上移动3个单位得到的，所以图像如图所示 。
它的单调递减区间是和，而函数在区间是递减的，所以应该是 。
4.如果点在幂函数的像上，点在幂函数的像上，定义并试求函数的最大值及其单调区间 。
解析:首先根据幂函数的定义，在同一坐标系中画出函数和的图像，得到函数图像 。最后根据图像得到最大值和单调区间 。
答:假设，因为点在的像上，所以，所以，那就是；
假设这个点在图像上，那么，那么，就是 。
在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，有
。
根据图，函数的最大值等于，其单调递增的区间为(，-1)和(0，1)；单调递减区间是和 。
5.已知幂函数是一个偶函数，在地面上是一个减函数 。求函数的解析式，讨论的奇偶性 。
解析:首先根据单调性得出m的取值范围，然后通过奇偶性进一步确定m的取值 。讨论…的奇偶性时注意字母的讨论 。
回答:以上是负函数 。∵,0,1 。
因为是偶函数，∴只满足当时题的意思，所以 。
因此
,
。
而当，是一个非奇非偶函数；
和时，是奇数函数；
当，它是一个偶函数；
而当，它既是奇数又是偶数 。
6.众所周知，幂函数是定义域中的增函数，甚至是定义域中的函数 。
(1)求的值，写出相应函数的解析式；
(2)对于(1)中获得的函数，设置函数 。问有没有实数，使得函数在区间内是减函数，在区间内是增函数？如果是，请求的值；如果没有，请说明原因 。
解析:第一个问题是根据单调性得出的取值范围，然后是由奇偶性进一步确定的值 。第二个问题可以根据复合函数的单调性来解决 。
答:(1)幂函数是世界上的增函数，∴∴
再一次，∴
∵是定义域中的一个偶函数，∴当时只满足题意，所以 。
②由，然后 。
假设有一个实数，这样假设条件就满足了 。那就点菜吧 。
∵这是一个递减函数，当时的∴，；那时候 。
如果是区间内的减函数，区间内的增函数，则是上区间的减函数，上区间的增函数 。此时，二次函数的对称轴方程为，
∴
。
所以有实数，使得函数在区间内是减函数，在区间内是增函数 。
【高中数学：幂函数图像及性质总结】

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