大家热议的美国数学高考题美国高考数学题( 二 )

5. 纯几何方法
这个问题里有一点是确定的，即小圆的周长是大圆的1/3 。小圆在大圆上滚过2r的长度即1/3大圆的周长，滚到了如下图所示的位置，此时小圆绕着自己的圆心转了360+120=480 。小圆贴着大圆滚6r的长度正好滚回原点，此时转了4803=1440 。1440360=4圈。

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6. 心形线的长度
刚才提到，在第二种方法中，有人认为小圆上任何一点走过的长度与圆心走过的长度是一样的，真的是这样吗？
不妨再看一下类似的但更简单一点的心形线，也就是两个圆的半径一样时的情况。在之前《隐藏在《隐秘的角落》里的错误心形线》这篇文章中，给出了心形线的极坐标方程表示。

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此时，由极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以求得心形线的长度为16a（具体计算过程如下），而小圆圆心走的轨迹是一个半径为2a的圆，因此走的长度为4a 。也就是说，在这种滚动的问题里，圆心走过的长度和圆上任意一点走过的长度是不一样的。

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